P. Marcellini, C. Sbordone
Elementi di Calcolo
Liguori Editore
P. Marcellini, C. Sbordone,
Esercitazioni di Matematica, volumi 1 e 2
Liguori Editore
Obiettivi Formativi
Apprendere le nozioni fondamentali del calcolo differenziale e integrale, in una e più variabili.
Prerequisiti
Programma ministeriale di matematica delle scuole medie superiori
Metodi Didattici
Lezioni ed esercitazioni. Il numero di lezioni teoriche sarà circa uguale al numero di lezione dedicate agli esercizi.
Modalità di verifica apprendimento
Prova scritta e orale. La prova scritta ha una durata di circa due ore e prevede la risoluzione di un certo numero di esercizi. Nella prova orale viene discussa la prova pratica e vengono poste domande di natura teorica sui contenuti del corso.
Programma del corso
1. Richiami sui numeri reali. Numeri razionali e irrazionali. Principio di induzione. Estremo superiore e inferiore.
2. Successioni di numeri reali. Limiti di successioni. Successioni monotone.
3. Funzioni reali di una variabile. Nozione di funzione. Limiti di funzioni. Operazioni con i limiti. Continuità. I teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teoremi dell'esistenza degli zeri e dei valori intermedi; teorema di Weierstrass; teorema della permanenza del segno.
4. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Definizione di derivata. derivabilità e continuità. Operazioni con le derivate. Derivate della funzione composta e della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. I teoremi di Fermat, Lagrange e Rolle. Relazione tra monotonia e segno della derivata. Derivata seconda e concavità. I teroemi di De l'Hospital. Polinomio di Taylor; sviluppi delle funzioni elementari.
5. Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Definizione di integrale mediante le somme di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale, e la formula fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione; formule di integrazione per parti e per sostituzione.
6. Serie numeriche. Nozione di serie numerica; successione delle somme parziali di una serie numerica. Carattere di una serie. Serie a termini positivi. Criteri di convergenza per serie a termini positivi.
7. Funzioni di più variabili. Richiami sullo spazio euclideo n-dimensionale. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Derivate parziali; gradiente; derivate direzionali; differenziabilità. Massimi e minimi locali. Tecniche di identificazione dei punti di estremo locale; uso della matrice hessiana. Massimi e minimi vincolati per funzioni di più variabili.