P. Marcellini, C. Sbordone
Elementi di Calcolo
Liguori Editore
P. Marcellini, C. Sbordone,
Esercitazioni di Matematica, volumi 1 e 2
Liguori Editore
Obiettivi Formativi
Conoscenza e comprensione:
Limiti e derivate per funzioni di una variabile
Studio di funzione e ottimizzazione per funzioni di una variabile
Calcolo integrale per funzioni in una variabile
Serie numeriche e criteri di convergenza
Polinomio di Taylor per funzioni di una variabile
Calcolo differenziale per funzioni in più variabili
Ottimizzazione libera e vincolata per funzioni di più variabili
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Calcolare limiti e derivate di funzioni di una variabile assegnate
Determinare i massimi e minimi relativi e assoluti per funzioni di una variabile
Determinare la famiglia delle primitive di una funzione di una variabile; calcolare integrali definiti
Determinare il polinomio di Taylor di ordine dato di una funzione assegnata
Calcolare le derivate parziali do ordine arbitrario di una funzione assegnata di più variabili
Risolvere problemi di ottimizzazione libera e vincolata per funzioni di più variabili
Prerequisiti
Programma ministeriale di matematica delle scuole medie superiori
Metodi Didattici
Lezioni ed esercitazioni. Il numero di lezioni teoriche sarà circa uguale al numero di lezione dedicate agli esercizi.
Altre Informazioni
Il docente farà un uso consistente della piattaforma Moodle, e tutti gli studenti saranno invitati a iscriversi alla pagina Moodle del corso. Su questa pagina verranno messi nell'arco del corso files contenenti esercizi che verranno successivamente risolti e spiegati in classe.
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste di due prove scritte e di un colloquio finale.
Nella prima prova scritta viene richiesta la risoluzione di esercizi sugli argomenti del corso (calcolo di limiti e derivate, studio di funzione, integrali, serie numeriche, sviluppi in serie di Taylor, estremi liberi e vincolati per funzioni di più variabili). Questa prova può essere superata anche tramite le prove intermedie che vengono fatte durante il corso.
Nella seconda prova scritta, a cui si accede dopo aver superato la prima, viene richiesta l'esposizione di risultati di teoria visti nel corso: definizioni, enunciati di teoremi e relative dimostrazioni.
Il colloquio è una discussione delle due prove scritte.
La valutazione finale è una opportuna media delle valutazioni delle due prove scritte.
Programma del corso
1. Richiami sui numeri reali. Numeri razionali e irrazionali. Principio di induzione. Estremo superiore e inferiore.
2. Successioni di numeri reali. Limiti di successioni. Successioni monotòne.
3. Funzioni reali di una variabile. Nozione di funzione. Limiti di funzioni. Operazioni con i limiti. Continuità. I teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teoremi dell'esistenza degli zeri e dei valori intermedi; teorema di Weierstrass; teorema della permanenza del segno.
4. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Definizione di derivata. derivabilità e continuità. Operazioni con le derivate. Derivate della funzione composta e della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. I teoremi di Fermat, Lagrange e Rolle. Relazione tra monotonia e segno della derivata. Funzioni convesse e concave. Relazione tra segno della derivata seconda e convessità/concavità. I teroemi di De l'Hospital. Polinomio di Taylor; sviluppi delle funzioni elementari. Formule del resto del polinomio di Taylor.
5. Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Definizione di integrale mediante le somme di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale; formula fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione; formule di integrazione per parti e per sostituzione.
6. Serie numeriche. Nozione di serie numerica; successione delle somme parziali di una serie numerica. Carattere di una serie. Serie a termini positivi. Criteri di convergenza per serie a termini positivi. Criteri di convergenza per serie a segno arbitrario.
7. Funzioni di più variabili. Richiami sullo spazio euclideo n-dimensionale. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Derivate parziali; gradiente; derivate direzionali; differenziabilità. Massimi e minimi locali. Tecniche di identificazione dei punti di estremo locale; uso della matrice hessiana. Massimi e minimi vincolati per funzioni di più variabili. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.