Successioni e serie numeriche. Calcolo differenziale e integrale per
funzioni di una variabile. Ottimizzazione libera e vincolata per funzioni di
più variabili.
Testi consigliati per la parte teorica
R. Magnanini, Dispense del Corso di Calcolo, 2023 (file pdf messo a
disposizione dal docente)
altri testi consigliati:
P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, 2002.
Testi consigliati per la parte di esercizi
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, I volume, parti
prima e seconda, Liguori, 2013
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, parti
prima e seconda, Liguori 2017
B. P. Demidovic, Esercizi e problemi di analisi matematica, Editori Riuniti
M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio, 2011
Obiettivi Formativi
Il Corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti conoscenze e capacità di comprensione del livello iniziale del Calcolo Differenziale ed Integrale (limiti, derivate, studi di funzione, integrali di una variabile, approssimazione mediante formula di Taylor e serie numeriche). Intende anche sviluppare le capacità tecniche di base e le capacità critiche necessarie per applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e risoluzione di problemi matematici in vari ambiti. Il corso copre argomenti e fornisce capacità di apprendimento che sono indispensabili per il proseguimento degli studi nel CdS e in altri ambiti scientifici.
Prerequisiti
Programma ministeriale di matematica delle scuole medie superiori.
In particolare: manipolazione di espressioni algebriche e trigonometriche;
geometria analitica del piano: equazioni di rette, circonferenze, parabole
e iperboli.
Metodi Didattici
Lezioni ed esercitazioni. Il numero di lezioni teoriche sarà circa uguale al
numero di lezione dedicate agli esercizi. Il corso però privilegerà la parte di esercitazioni.
Altre Informazioni
I docenti faranno un uso consistente della piattaforma Moodle, e tutti gli
studenti saranno invitati a iscriversi alla pagina Moodle del corso. Su
questa pagina saranno presenti le dispense del corso, gli esercizi consigliati e le loro soluzioni. Alcuni esercizi saranno risolti in classe. È prevista la collaborazione di un tutor con lo scopo di uniformare le conoscenze in entrata ed aiutare nella preparazione delle prove intermedie.
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste di due prove scritte.
Nella prima prova scritta, che dà accesso alla seconda prova scritta, viene richiesta la risoluzione di esercizi sugli
argomenti del corso (calcolo di limiti e derivate, studio di funzione,
integrali, serie numeriche, sviluppi in serie di Taylor, estremi liberi e
vincolati per funzioni di più variabili). Questa prova può essere superata
in alternativa anche tramite le prove intermedie che vengono fatte
durante il corso.
Nella seconda prova scritta, a cui si accede dopo aver superato la prima,
viene richiesta l'esposizione di risultati di teoria visti nel corso: definizioni,
enunciati di teoremi e relative dimostrazioni.
La valutazione finale è una opportuna media delle valutazioni delle due
prove scritte.
Durante il corso saranno svolte delle prove scritte intermedie di esercizi
che, se superate, in alternativa alla prima prova, danno accesso alla prova teorica dell'esame.
Programma del corso
1. Richiami sui numeri reali. Numeri razionali e irrazionali. Principio di
induzione. Estremo superiore e inferiore.
2. Successioni di numeri reali. Limiti di successioni. Successioni
monotòne.
3. Funzioni reali di una variabile. Nozione di funzione. Limiti di funzioni.
Operazioni con i limiti. Continuità. I teoremi fondamentali sulle funzioni
continue: teoremi dell'esistenza degli zeri e dei valori intermedi; teorema
di Weierstrass; teorema della permanenza del segno.
4. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Definizione di
derivata. derivabilità e continuità. Operazioni con le derivate. Derivate
della funzione composta e della funzione inversa. Derivate delle funzioni
elementari. I teoremi di Fermat, Lagrange e Rolle. Relazione tra
monotonia e segno della derivata. Funzioni convesse e concave.
Relazione tra segno della derivata seconda e convessità/concavità. I
teroemi di De l'Hospital. Polinomio di Taylor; sviluppi delle funzioni
elementari. Formule del resto del polinomio di Taylor.
5. Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Definizione di integrale
mediante le somme di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Il
Teorema fondamentale del calcolo integrale; formula fondamentale del
calcolo integrale. Tecniche di integrazione; formule di integrazione per
parti e per sostituzione.
Testi in inglese
Italian
Numerical sequences and series. Differential and integral calculus for
functions of one variable. Local and constrained optimisation for functions
of several variables.
Suggested textbook (theoretical part)
R. Magnanini, Lecture notes of the Course of Calculus, 2022 (file pdf
made available by the teacher)
Other suggested textbook
P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, 2002.
Suggested textbooks (exercises)
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, I volume, parti
prima e seconda, Liguori, 2013
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, parti
prima e seconda, Liguori 2017
B. P. Demidovic, Esercizi e problemi di analisi matematica, Editori Riuniti
P. Benevieri, Esercizi di Analisi Matematica 1, Città Studi, 2007
M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio, 2011
Knowledge acquired
Limits and derivatives of functions of one real variable
Optimisation methods for functions of one real variable
Integral calculus for functions of one real variable
Infinite series; convergence criteria
Taylor expansions
Differential calculus for functions of several variables
Optimisation methods for functions of several real variable
Competence acquired
Compute limits and derivatives of functions of one real variable
Determine relative and absolute maxima and minima of functions of one
real variable
Solve indefinite and definite integrals
Determine the Taylor polynomial of a given order of an assigned function
Compute partial derivatives of any order of functions of several real
variables
6. Serie numeriche. Nozione di serie numerica; successione delle somme
parziali di una serie numerica. Carattere di una serie. Serie a termini
positivi. Criteri di convergenza per serie a termini positivi. Criteri di
convergenza per serie a segno arbitrario.
7. Funzioni di più variabili. Richiami sullo spazio euclideo n-dimensionale.
Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Derivate parziali;
gradiente; derivate direzionali; differenziabilità. Massimi e minimi locali.
Tecniche di identificazione dei punti di estremo locale; uso della matrice
hessiana. Massimi e minimi vincolati per funzioni di più variabili. Il
teorema dei moltiplicatori di Lagrange.